O critério de Kelly responde à pergunta que o valor esperado deixa em aberto: dado que uma aposta paga bem, quanto da banca colocar nela. O verbete critério de Kelly traz a definição; este guia mostra a conta que explica por que quase ninguém usa a fração cheia.

A fórmula, em duas formas

fração = (b × p − q) ÷ b

Aqui b é a odd decimal menos 1, p é a probabilidade estimada de vencer e q é 1 − p. A mesma fórmula pode ser reescrita de um jeito mais fácil de lembrar:

fração = (p × odd − 1) ÷ (odd − 1)

O numerador é o EV por real apostado. Kelly é o EV dividido pelo ganho líquido da odd: quanto mais a aposta paga bem em relação ao que ela arrisca, maior a fração.

Exemplo completo

Odd de 2,20, probabilidade estimada de 50%, banca de R$ 1.000:

(0,50 × 2,20 − 1) ÷ (2,20 − 1) = 0,10 ÷ 1,20 = 8,33%

A fração é recalculada a cada aposta sobre a banca do momento. Se a banca cai para R$ 900, o Kelly cheio da próxima aposta igual é R$ 75,00; se sobe para R$ 1.100, é R$ 91,67. É isso que protege a banca numa sequência ruim: o stake encolhe junto com ela.

O que acontece acima da fração

Kelly maximiza o crescimento médio da banca por aposta, medido em escala logarítmica, que é a forma como uma banca reinvestida cresce. No exemplo acima, com a probabilidade de 50% exatamente certa:

Meio Kelly aposta metade e ainda entrega cerca de três quartos do crescimento do Kelly cheio. No dobro de Kelly, o crescimento vai a zero: a banca oscila muito mais e, no longo prazo, não sai do lugar. Acima disso, encolhe, mesmo com a aposta tendo EV positivo.

O que acontece quando a estimativa erra

Agora suponha que a chance real era de 47%, não de 50%. A odd de 2,20 ainda tem EV positivo (0,47 × 2,20 − 1 = 3,4%), mas a fração correta seria 2,83%, não 8,33%:

Um erro de três pontos percentuais na estimativa transforma o Kelly cheio numa fração que faz a banca encolher, numa aposta que continua tendo EV positivo. Quarto e meio Kelly continuam no positivo. Esse é o argumento concreto para o Kelly fracionado: ele troca um pouco de crescimento, no caso em que a estimativa está certa, por margem de segurança no caso, bem mais comum, em que ela está otimista.

Onde Kelly não se aplica

Kelly dimensiona apostas de valor, que podem perder isoladamente. Numa surebet, o stake de cada perna sai da proporção entre as odds, não de uma estimativa de probabilidade, e a decisão de banca ali é outra: quanto capital deixar parado em cada casa, assunto de gestão de banca. A conta de Kelly cheio, meio e quarto para qualquer odd está na calculadora de Kelly.